주사위만 던져도 열 물리의 기본을 이해

주사위만 던져도 열 물리의 기본을 이해할 수 있어요. -----제 2 부

표지		만든이 서울대학교 물리학과 이구철
문서의 머리		제6장 막스웰 볼쯔만 분포
제1장 머리말-페이지의 배경 제2장 작은 바른틀 몬테칼로 방법 제3장 열 풀림과정 시늉내기 제4장 엔트로피 다시 보기 제5장 통계물리적 온도 제6장 막스웰 볼쯔만 분포 제7장 맺는 말		주사위의 점수 분포 제 1부 제 3 장에서 100(=N)개의 주사위를 던졌을 때 가장 잘 나오는 주사위 점수의 분포는 배열에 대하여 아무 제한을 두지 않으면 n₁ , n₂, ..... n₆ 가 모두가 N/6 이라는 사실을 알았습니다. 이 경우 총점은 말할 것 없이 3.5N 이 됩니다. 그런데 총점이 3.5N 보다 작은 값(260 과 같은)을 가질 때 가장 가지수가 많은 {n_k} 값은 모두가 같은 고른 분포가 될 수 없을 것입니다. 총점이 3.5N 보다 작을 때에는 당연히 n₁이 n₆보다 많아야 할 것입니다. 또 총점이 3.5N 보다 클 때에는 n₆이 n₁보다 더 커야 할 것입니다. 제 3 장에서 우리는 비김 상태에 이르면 총점 T를 갖는 배열의 가지수는 W(T) 는 점수 분포 {n_k}를 갖는 분포 W({n_k})를 제일 크게 만드는 한 가지 분포 를 갖는 배열의 가지수와 같다 고 보 였습니다. 즉 (15)식 을 증명하였습 니다. 이 것이 비 김 분 포인데 점수의 비김 분포 가 어떻게 될가요. 이 장에 서는 이 비김 분포 를 알아 보려 합니다. 두 가지 방법으로 이 분포를 셈할 수 있습니다. 참고 문헌 2에서는 위에서 보인 바를 따라 W({n_k})를 극대화 하는 방법을 써서 이 분포를 알아 냈습니다. 이 방법은 (4)식과 (6)식의 구속조건이 있으므로 라그랑쥐의 미정승수법을 써야만 했습니다. 참고 문헌 2. 서울대학교 물리교재 편찬위원회 : 새 대학물리 I (교문사) pp. 389-403 그러나 그 보다 더 간단하게 를 셈하는 방법이 있 습 니다. 이 방법은 아래 의 시늉내기를 실행하면서 설명해야만 이해하기 쉽기 때문에 참고 문헌 2에서는 쓰지 않았습니다. 아래의 시늉내개는 제3장에서 다루었던 시늉내개를 조금 수정하여 작은 바른틀 몬테칼로를 수행하면서 에너지 분포 대신 주사위 점수의 상대 분포, 를 시간의 함수로 그리도록 한 것입니다. 이 시늉내개의 제어 맺음변수는 제 3장 시늉내개의 것과 똑 같습니다. 그림 7이나 8을 참조하세요. 그이 시늉내개의 가운데 아래 부분에는 그림의 눈금을 표시하였습니다. 엔트로피와 점수(에너지)의 상대분포값에 대해 표시하였습니다. 그림15 주사위 10000 개를 총 에너지 16000(주사위로는 총점 26000)으로 고정한 다음 그림 7과 같은 초기 배열에서 시작하여 작은 바른틀 몬테칼레 걸음을 걸리면서 주사위의 각 점수의 상대 분포 가 시간에 따라 바뀌는 모습을 그린 것입니다. 처음은 "0" 과 "5"밖에 없었으므로 "1","2","3","4" 는 0에서 시작합니다. 최종 상태의 상대 분포를 상자 안에 가득 채워 그리기 위해서는 초기 "0"점의 분포는 부득이 이 상자 밖으로 나갈 수 밖에 없었습니다. "x" 표시로 그린 곡선은 (16)식으로 정의된 엔트로피를 그린 것입니다. 이 엔트로피가 최고 값을 갖는 비김 상태에 도달한 시각을 보여 주기 위하여 첨가한 것입니다. 이 시늉내개에서 비김상태에 도달하면 점수의 상대 분포는 시간적으로 바뀌지 않습니다. 물론 작은 요동은 있습니다. 그러나 그 요동도 주사위의 개수가 커지면 상대적으로 눈에 보이지 않을 정도로 작아 집니다. 주사위의 개수를 16000 (L=400)로 놓고 해 보세요. 이제까지의 어느 시늉내개도 주사위 개수 크기에는 상한이 없습니다. 단 배열의 그림은 L = 200, 즉 주사위 개수 N = 40000 개를 넘어서면 그려주지 않은 뿐입니다. 이제 이 시늉내개에서 비김 상태에 왔을 때의 주사위의 점수의 분포를 알아 봅니다. 비김 상태에 왔을 때 배열에서 를 세어서 그림을 그립니다 . 그런데 비 김 상 태에서 주사위의 모든 자리는 동등하므로 어느 한자리를 지정하여 그 자리에 어떤 점수의 주사위가 차지하는가를 셈하여 봅니다. 보기를 들자면 100 개의 주사위가 총점을 260 점으로 한 채 비김상태를 막걷기(작은 바른틀 몬테칼로 걸음)할 때에 제일 왼쪽 꼭대기자리를 지목하여 몇 점짜리가 얼마나 자주 차지하는가를 기록하면 이것도 를 측정하 는 방법이 됩니다. 보기를 들어 아래와 같 은 배열을 F 번 만들고 그중에서 좌상단 자리에 1이 f₁번 2가 f₂ 번 3이 f₃번 ....., 6이 f₆번 차지 하였다면 (32) 이 될 것입니다. 그림16 주사위 100 개의 총 점이 260(에너지로는 160)이 되는 3 마구잡이 배열. 여기서 좌상단 자리에는 각기 "4", "5", "1" 이 차지하고 있다. 이 점수의 빈도 를 셈하여 을 구할 수도 있다. 그런데 이 좌상단 자리에 "k" 라는 점수가 얼마나 자주 나타나는가는 그 나머지 99 개의 주사위의 배열의 가지수에 달려 있습니다. 왜 그러냐고요? 다음과 같은 이유에서입니다. 총점 260 점이 되는 배열의 가지수는 일정한 값입니다. 즉 W(T) = const.입니다. 그런데 이 W(T)를 다음과 같은 6 개의 가지수의 합으로 표현할 수 있습니다. 즉 좌상단 자리에 "1" 이 놓이면 나머지 99 개의 주사위는 그 총점이 259 가되므로 그 가지수는 W₁=W₁(N=99, T=259)가 될 것입니다. 좌상단 자리에 "2" 가 놓이면 그 가지수는 W₂=W₂(N=99, T=258), .......,W₆=W₆(N=99, T=254) 가 될 것입니다. 따라서 W(T) = W₁+W₂+.... +W₆ (33) 이 되고 따라서 좌상단 자리에 "k" 점 주사위가 점유할 상대 빈도는 (34) 가 됩니다. 위 식에서 W(T)는 상수이고 (32)식을 대입하면 (35) 를 얻게 됩니다. 이제 이 W(N-1, T-k)에 대하여 면밀히 따져 보기로 하겠습니다. 먼저 일반화한 기호를 쓰기로 하겠습니다. 일반화라 추상화란 뜻이고 추상적인 것은 이해하기 어렵지요. 그러나 여기 시늉내개와 그림이 있습니다. 언제나 그림과 시늉내개에 돌아와 그 의미를 곱씹어 보십시오. 이해가 새로워 질 것입니다. 먼저 주사위의 점수 대신 에너지로 바꾸겠습니다. T 대신 E = T-N을 쓰고 k 대신 r = k-1을 쓰겠습니다. 즉, (36) 을 쓰겠습니다. 두 째는 N 이 충분히 크면 W(N-1, E-r) 은 W(N, E-r) 로 어림할 수 있습니다. W 는 N 의 지수함수이므로 기껏해야 인데 제3절 (9)식 을 상기하면 (37) 이 됩니다. 이제 위 식에서 E 는 그 크기의 정도(order of magnitude)가 Nr 이니까 r 에 비하면 엄청나게 큰 수자입니다. 물론 N =100을 뜻하는 것이 아니고 아보가드로수처럼 0 이 23 개 붙는다고 생각 해 보세요. 이러한 경우 함수는 테일러 전개하여 제 1차항만을 취하여도 큰 무리가 없을 것입니다. 2차항은 1차항에 비하면 10^-23밖에 안되니깐요. 그런데 테일러 전개를 하되 함수와 변수가 같은 정도의 크기로 해야 합니다. 그러기 위해서는 W 대신 그 자연대수를 취한 엔트로피 S = ln W를 테일러 전개 하여 제 1 차 항만을 취합니다. 즉 가 됩니다. 그런데 는 무엇입니까? 바로 (27) 식에서 정의한 역 온도입니다. S _N(E) 는 r 의 함수가 아니므로 (38) 가 됩니다. 이것이 그 유명한 볼쯔만 인자(Boltzmann factor)라고 하는 것입니다. 계가 절대 온도 T에서 열비김하고 있을 때 r 에너지 준위에 놓인 원자의 상대 분포는 이 볼쯔만 인자에 비례한다는 것을 뜻합니다. 이 시늉내개는 주사위의 한 자리를 지정하여 그 자리를 점유하는 점(닷)수의 상대 빈도를 그린 것이 아니라 온 배열의 점수(에너지 준위)분포를 세어서 그린 것입니다. 그 이유는 여기서 특정 자리는 의미가 없으며 모두 동등하기 때문입니다. 한자리의 시간적 점유 분포와 한 순간 공간적인 점유분포는 다를 수 없습니다. 이러한 동등성을 어려운 말로는 에르고딕 가설이라고 합니다. 이 에르고딕 가설은 제 5장 첫머리에 언급한 에르고딕성(ergodicity) 과 같은 의미를 같습니다. 그러나 잘 이해가 안되면 건너 뛰어도 상관 없습니다. 이 시늉내개에서 오른쪽 그림은 최종 비김 분포를 막대 그라프로 표시하고 이 때 온도를 (30)식을 풀어서 계산하여 (38)식에 대입한 다음 이 곡선을 막대 그라프에 겹쳐 그립니다. 이렇게 하여서 (38) 식까지의 추론을 시늉내기를 통해서 험증합니다. 실제로 아래의 시늉내개를 불러 내어 실험하여 보세요. 주사위의 수자를 변동하고 주사위의 면수도 조절하면서 시늉내 보세요. 이제 볼쯔만 인자의 뿌리가 이해되었으리라고 생각됩니다. 기체분자의 속도 분포도 같은 원리에 바탕을 두고 있습니다. 단지 기체 분자의 에너지는 연속적인 값을 갖는다는 차이점이 있을 뿐입니다. 기체의 경우 에너지 분포를 따지는 대신 기체 분자의 속도분포를 따지는 것이 보통이고 그래서 그 경우에는 막스웰 볼쯔만 속도 분포라는 말을 씁니다. 막스웰이 왜 여기에 나오느냐고요? 볼쯔만 보다 조금 먼저 막스웰방정신으로 명성을 날리는 막스웰이 확률적 추론을 통하여 이 분포식을 발견하였기 때문입니다. 다음 장으로 넘어 갑시다. ---------------제 6장 끝--------------- 제7장
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