주사위만 던져도 열 물리의 기본을 이해할 수

주사위만 던져도 열 물리의 기본을 이해할 수 있어요.-----제 1 부

앞장에서 어떻게 100 개의 주사위를 총점이 260 점이 되게 마구잡이로 늘어 놓을 수 있는가 하는 방법을 제시하였습니다. 그런데 이 방법을 수행해 보면 잘 알겠지만 앞장에서도 이야기한 대로 처음 몇 번 만에 얻는 마구잡이 배열은 처음 인위적인 배열의 흔적이 많이 남아 있어 진정한 마구잡이 배열이라고 할 수 없습니다. 진정한 마구잡이 배열은 몇 번만에 얻는 배열일가요? 눈으로 보고 판단할 수도 있겠지요. 그러나 그것은 정확한 방법이 아닙니다. 눈이나 다른 감각기관으로 판단하는 것은 객관적이 못 됩니다. 물리는 감각에 의존하지 않는 객관적 측정법을 요구합니다. 이 객관적 판단이 되는 물리량을 정의하려고 합니다.

배열 특성의 수량화로서의 엔트로피

엔트로피라는 개념은 잘 잡히지 않는 미꾸라지 같은 개념입니다. 잡았다 싶으면 다라 나 버리고 아리송한 개념입니다. 더욱이 엔트로피의 개념은 1948 년 미국 벨 연구소의 셰논(Shannon) 이라는 사람이 통신의 수학적 이론이라는 획기적인 논문을 써서 수학적 개념으로 확대 승격시킨 이후 더욱 다양한 개념으로 발전 변화하였습니다. 이제 엔트로피는 물리의 전유물이 아닙니다. 수학자들은 수학의 개념으로 치부하고 인터넷 사이트에서도 수학에 분류된 항목이 더욱 커 보입니다. 하긴 수학이야 말로 모두를 수용하는 따라서 알맹이 없는 동의어 반복이니까요. 수학은 그릇이고 따라서 아무 것이나 담을 수 있습니다.

역사적으로는 크라시우스가 제일 먼저 엔트로피라는 개념을 정의하고 도입하였습니다. 대부분의 일반물리 교과서에는 이 엔트로피가 소개되어 있습니다. 그런데 이 엔트로피를 이해한 학생이 있으면 나와 보라고 하겠습니다. 내가 장담하건데 한 사람도 없을 것입니다. 나온 학생이 있으면 거짓말을 하고 있거나 이해 했다고 착각하고 있는 것입니다. 왜 이 말을 하느냐 하면 이 엔트로피를 정의한 크라시우스마저도 이 엔트로피의 진정한 뜻을 이해하지 못하고 있었다는 것이 물리학 역사가의 거의 일치된 의견입니다. 만든 사람도 모르는데 일 학년 학생이 이해할 수 있겠어요? 그런데도 이 어려운 정의가 일 학년 일반물리 교과서에 100 년 넘게 되풀이 되어 실려 오고 있습니다. 관습과 전통은 참으로 무섭군요. 엔트로피의 진정한 뜻(물리적 엔트로피에 국한하여)은 볼쯔만에 의해서 밝혀 졌습니다. 그런데 그 정의가 확률과정을 다루는 모든 현상에 적용할 수 있는 수학적 개념으로 확대 발전한 것이 20 세기 중반이었다는 것을 생각 하보면 크라시우스가 자기자신도 엔트로피를 잘 이해하자 못했다는 것은 당연한 것인지도 모르겠습니다.

이야기 곁가지 너무 길어 졌습니다. 내가 엔트로피 이야기가 나오면 나도 모르는 사이에 말이 많아 지는가 봅니다.

각설하고 본론으로 돌아 옵시다. 이제 얼마쯤 몬테칼로 시늉내기를 해야 처음 인위적 배열이 흔적이 없는 진정한 마구잡이 배열을 얻는가의 문제였지요. 그러면 처음 배열의 특성은 무엇입니까? 1 점과 6 점으로 만 260 점을 만들었다는 것이지요. 몬테 칼로 시늉내기를 하면 이 흔적이 자꾸 지워지고 있습니다. 즉 6 점 자리들이 작은 점수로 바뀌고 1점자리는 큰 점수로 바뀌고 있습니다. 그러면 아주 고르게 되는 것이 궁극적인 도달점일까요? 그것은 안되지요. 우리가 제1 장에서 보았듯이 1, 2, 3 ...6 이 모두 고르게 나오면 100 개의 주사위의 총점은 350 점이 되기 때문이지요. 그러면 궁극적인 도달점은 어떤 것일 까요.

먼저 이 작은 바른 틀 몬테 칼로 방법은 100 개의 주사위가 만드는 총점이 260 점이 되는 배열을 모두 고르게 누빈다는 사실을 증명할 수 있습니다. 고르게 누빈다는 말은 어느 특별한 배열은 선호하지 않고 똑 같은 확률로 실현시킨다는 말입니다. 그렇다면 궁극적 도달점은 확률적으로 가장 잘 나올 배열이 되겠지요. 확률이란 가지수가 가장 클 때에 가장 클 터이니까 그 가지수를 셈하여 보면 되겠습니다.

가지수 셈하기

1 점짜리 주사위의 개수를 n₁, 2 점짜리, 주사위의 개수를 n₂

따위로 표시해 봅시다. W를 그러한 분포를 하고 있을 때 배열의 개수를 나타낸다고 합시다. 그러면 W 는 n₁, n₂.....,의

함수로 W(n₁, n₂..., n₆) 라 쓸 수 있겠지요. 이것을 더 줄여서 W({n_k}) 로 쓰기도 합니다. 이 가지수를 어떻게 셈하나요? 이것은 다름 아닌 다항식 곁수입니다. 아래의 당항식을 전개하면 얻어지는 결수가 바로 W({n_k})입니다. 즉, (3)

이 식에서

n₁+n₂... +n₆ =N (4)

이 당연히 만족되고 이 중에서도 우리가 원하는 W({n_k}) 는 하나의 조건을 더 만족시켜야 합니다. 즉

. (5)

이제 260 대신 일반적인 수 T를 쓰기로 합시다. 즉

. (6)

그러면 이제 위의 W({n_k}) 중에서 위 조건을 만족시키는 것만 골라 합쳐서 W(T) 라 합시다. 즉

(7)

윗식 (7)에서 """ 는 합산을 할 때에 두 조건 (4)식 과 (6) 식 을 만족 하는 항만을 골라서 한다는 뜻입니다.

(7)식은 N 개의 주사위의 총점이 T 값이 되는 배열의 총 개수입니다.

자 그러면 이 값을 어떻게 셈해야 할 가요. 통계 열 물리의 어려움을 호소하는 사람들은 바로 이러한 셈에 약해서 또는 익숙하지 않아서 그럽니다. 자꾸 자꾸 셈을 연습하다 보면 이러한 셈에 익숙하게 될 것입니다. 먼저 W({n_k})를 어떻게 셈할까요. 이 양은 (3)식에서 처음 나온 다항식 전개 곁수였습니다. 이항식 곁수는 잘 알지요. W({n_k}) = N!/n₁!n₂! 단 n₁+n₂=N을 만족시키는 조건아래에서 말입니다. 다항식 전개 곁수도 이 표현을 확장 일반화하면 됩니다. 즉,

(8)

왜 이렇게 되는가는 잘 음미해 보면 이해가 갈 것입니다.

주사위와 같이 6-항식의 경우 (4)와 (5)식을 만족시키는 {n_k} 집합은 무수히 많이 있습니다. 우리가 인위적으로 만든 최초의 배열 (n₁=68, n₂=0, n₃=0, n₄=0, n₅=0, n₆=32) 도 그 중의 하나입니다. 앞장에서 설명을 한 작은 바른틀 몬테칼로 조작을 자꾸 수행하다 보면 이 {n_k} 이 자꾸 바뀌면서 W({n_k}) 의 수자가 가장 커지는 그런 배열로 향해 갈 것입니다. 그래서 이제 그러한 배열 즉, W({n_k}극대화하는 배열을 로 표 시 하기 로 하겠 습 니다.

이제 열 통계물리에서 가장 중요하면서도 대부분의 사람에게 익숙하지 산술 하나를 소개하겠습니다. 즉,

아니

위 식에서 를 N 개 더한 것입니다. N 은 주사 위의 개 수 입니다. 우 리 는 여기서 N을 100 개로 잡았지만 N 은 크면 클수록 이 산술은 잘 맞습니다. 사실 이 산술의 정확성은 인 극한에서 성 립합니다. 대단 한 역 설이지 요. 이 제 그만 각설하고 본론으로 들어 갈 가요.

주사위의 수자가 늘어 나면 그 배열의 가지수는 지수함수로 늘어 난다고 하였습니다. (2) 식을 다시 보십시오. 위의 역설적인 산술공식의 에 이 W를 대 입하여 보세요.

(9)

라는 산술이 선형세계 즉 N 에 비례하는 세계에서 성립합니다. 우리는 N 에 비례하는 세계에서 살고 있습니다. 사과 하나에 100 원이면 사과 두 개를 사면 200 원을 지불하는 세계에 산다는 말입니다. 그래서 지수함수는 우리 체질에 맞지 않습니다. 어떻게 해서든지 선형 세계로 끌어 내려야 합니다. 아주 좋은 방법이 있지요. W 대신 log 함수를 쓰는 것입니다. log W 는 W 의 지수를 끌어 내려 선형으로 만들지요. (2) 식의 경우 log W=N log6 가 되어 N 에 비례하는 양이 됩니다. 이래야 무엇인지 편안해집니다. 안그런가요. 주사위의 수자가 3 배가되면 그 양도 3배가 되어야지 지수함수가 되면 불편하지요. 열 물리에서는 기본 양에 비례하는 양을 크기 변수(Extensive quantity) 라고 합니다. 에너지, 부피따위지요. 한편 기본 양에 불변인 양을 세기변수(Intensive quantity)라고 합니다. 그런데 모든 크기 변수는 세기 변수로 바꿀 수 있습니다. 크기 변수를 또 다른 기본 크기변수 보기를 들자면 부피 또는 질량으로 나누어주면 세기 변수로 바뀝니다. 그런 경우 우리는 견줌(비, specific)라는 말을 씁니다. 견줌 열(specific heat) 따위가 그 본보기입니다. 이렇게 견줌 양을 만들어야 다른 물질의 같은 성질과 견줄 수 있습니다.

각설하고 본론으로 돌아 와 가짓수 W 의 log 함수를 취한 양을 볼쯔만은 엔트로피(entropy)라 정의하였습니다.(1877) 엔트로피는 이미 크라시우스가 10여년전에 (1865)에 정의하였기 때문에 그 단위를 맞추기 위하여 엔트로피의 단위를 결정하는 상수인 볼쯔만 상수

(10)

를 도입하여

(11)

라고 정의하였습니다.

이 정의는 너무나 유명하고 또 그 함축하는 의미가 심장하여 볼쯔만의 비석에서 새겨져 있습니다. 아래 그림을 보세요.

그림6 볼쯔만의 묘비

자연대수 와 상용대수 ---
원래 대수함수는 그 바탕(base)을 아무 수나 잡고 정의 할
수 있으나 수학적으로 의미가 있는 자연대수와 10진수 계산에
유용하게 쓰이는 상용 대수(common logarithm)가 주로 쓰인
다. 이 두 대수를 구분하기 위하여 흔히 자연대수는 상용
대수는 로 표기하여 왔다. 그러 나 처 음에는 이 구별 이
없 었으며 모두 또 는 ( 여기서 는 자연 대수의
바 탕 또는 상용대수 의 바탕 10를 써서) 로 써 왔다. 볼쯔 만
의 비 명에 있는 는 자 연대수를 말 한 다.

이와 같이 정의한 엔트로피는 크기 변수입니다. 기본 양에 직 비례하는 양이지요. 따라서 주사위의 수자가 N이라면 N에 비례합니다. 그러면 이 엔트로피라는 관점에서 (9)식을 재 음미하여 봅시다. 이 어림식에 자연대수 을 취 하 여 봅시 다.

(12)

이제 위 식을 견줌 양으로 만들기 위하여 N 으로 나누어 줍시다.

(13)

이 견줌 양은 유한한 양입니다. 주사위의 경우 6입니다. 그런데 ln N/N 은 얼마입니까? N이 커지면 커질 수로 작아 집니다. 보기를 들어 아보가드로의 수 로 잡아 볼 가요?

이 됩니다. 6 에 비하면 정말 작은 양이지요. 무시할 수 있어요. 이것을 무시하는 것은 (9)식

에서 N을 무 시하는 것과 같은 것입니다. 역설적인 덧셈이 어림해서 맞는다는 말입니다.

이러한 셈법에 익숙해지면 여러분은 열 통계물리에 통달하게 됩니다.

이와 같은 셈법은 (7) 식의 W(T)를 (8) 식의 W({n_k})를 극대화하는 한 개 의 항으로 대치가 가능합니다.

다시 말하면 여러 항이 있어도 한 개의 항으로 대치할 수 있다는 말입니다. 통계물리에서는 총합이 W 와 같이 N 의 지수함수 즉, 이고 항의 개수 M 이 N 의 대수함수 , 즉 M = aN ^b 이면 항상 그러한 대치가 가능합니다. 이 성질은 열 물리 중요 원리를 이해하는데 매우 중요합니다. (7) 식의 경우 아래와 같은 부등식이 성립합니다. 왜냐하면 항의 개수는 고작 (N+1)⁶ 이기 때문이지요. n₁, n₂, ...., n₆이 기껏해야 0, 1, ....N 까지 (N+1) 값을 취할 수 있으니까 (N+1)x(N+1)x ...(N+1) = (N+1)⁶이라는 말입니다. 따라서 총합은 합할수의 최고값 한 개 보다는 크고 그 최고값을 합할 수 만큼 곱한 값보다는 작기 때문이지요. 즉,

(14)

각각 항은 개수를 나타내므로 양수라는 사실을 상기 하십시오. 이부등식의 각 각의 대수를 취하여 보면

따라서 (7) 식의 W(T) 는 더할 수중 가장 큰 값으로 대치가 가능합니다. 즉,

. (15)

그렇다면 이 총합에 이바지하지 않는 배열들은 무엇일가요? 그중의 하나가 앞서도 언급한바 있는 초기상태의 인위적인 배열이 있습니다. 이러한 배열은 비김이 아닌 상태를 나타낸다 할 수 있습니다. 실제로 아주 뜨거운 열원에 위쪽을 대고 아주 차가운 열원을 아래에 대고 있다며 어림하여 초기 배열과 같은 것을 얻을 수 있을 것입니다. 그래서 그러한 상태를 나타내는 일반화된 엔트로피를 아래와 같이 정의할 수 있습니다. 즉.

(16)

이 엔트로피는 안비김상태도 나타내는 일반화된 엔트로피라 불릴 수 있습니다. 이 엔트로피는 W({n_k})의 함수로 W({n_k}) 가 바뀜에 따라 변합니다. 그래서 앞장에서 설명한 작은 바른틀 몬테 칼로 방법을 수행하여 이 엔트로피 값이 어떻게 변하는가를 추적하는 시늉내개를 만들어 보았습니다.

이 강의에서는 엔트로피의 단위를 k = 1을 취하는 단위계로 잡겠습니다.

아래의 그림은 그 시늉내개입니다.

그림7 풀림과정 시늉내개 초기 상태

그림 7은 이 시늉내개(Simulator)의 초기화 상태입니다. 주사위 대신 각 칸의 값을 무지개 색깔로 칠하여 구별하였습니다. 또 주사위의 점수도 1 로 시작하지 않고 0으로 시작하였습니다. 여러 가지 맺음 변수를 수자로 입력하도록 하였습니다. e= E/N 으로 E 는 총 에너지 즉 주사위의 총점을 나타냅니다. 단 주사위의 점수가 0 에서 시작하였으므로 2.6 이 아니고 1.6인 점에 주의하십시오. (따라서 총점이 260 이 아니고 1.6x100=160 이가 됩니다.) 또 주사위의 개수를 변, L 로 표시하였는데 개수는 항상 이 변의 제곱 즉 N=LxL 로 정해집니다 . 그리스 문자 는 주 사위의 면 (face)수 를 말합니 다. 물 론 보통 주사위는 직육 면체로 6 이지만 이제 컴퓨터 스크린 위에서 시늉내기를 하는 바에는 이 또한 제한할 이유가 없지요. 2 개짜리에서 시작하여 얼마든지 크게 할 수 있어요. 끝으로 NoDP 라고 쓴 맺음 변수는 오른쪽 그래프에 찍어 넣을 데이터 포인트의 개수를 말합니다.

또 오른 편 네모 칸이 둘이 있는데 여기에 엔트로피의 변화를 시간(몬테칼로 걸음)을 따라 그립니다. 이 때 시간은 조절할 수 있습니다. 시간에 길어지면 점과 점 사이의 시간 간격이 길어지는 겁니다. 즉 NoDP 가 200 이고 시간이 400 이라면 점과 점 사이의 시간간격은 400/200 = 2 로서 2 몬테 칼로 걸음을 걸은 다음 표시된다는 것입니다. 다음그림은 위의 초기조건으로 몬테칼로 시늉내기를 수행한 결과를 나타내고 있습니다.

그림8 풀림과정 시늉내개 수행결과

왼쪽은 주사위 마지막 배열이고 오른쪽 그래프에는 4 가지 양을 한거번에 그렸습니다. 이 그래프의 중요한 곡선을 엔트로피 곡선입니다. (8)과 (16)으로 정의된 일반화된 엔트로피를 매 시간마다 셈하여 그린 것입니다. 그런데 여기에 자홍색 곡선이 따로 있는데 이 엔트로피는 (8) 식의 {n_k}의 사다리곱(factorial)을 스터링의 어림공식(Stirling's formula) ,

(17)

으로 바꾸어 셈한 결과를 그린 것입니다. 주사위의 개수가 작을 때에는 이 두 엔트로피 값은 차이가 나지만 주사위의 개수가 커지면 그 차이는 아주 작아집니다. 스터링의 어림은 대개 (9) 식의 어림이 들어 맞는 {n_k} 의 값 영역에서 성립합니다. 열역학적 극한 즉 주사위의 개수 N 이 가 되는 극 한 에서 항상 성 립 합 니다. 반대로 이 시늉내개를 써서 주사위의 개수가 대개 어느 정도가 되어야 열역학 극한이 들어 맞는가를 알아 볼 수도 있습니다.

가외로 두 곡선을 더 그렸습니다. 파란색은 과 빨간색은 에너지 밀도를 나타내는데 이 몬테 칼로 시늉내기는 에너지밀도를 고르게 해 주는 역할도 수행하고 있습니다. 즉 파란색은 초기화에서 파란 색 값, 즉 5점(보통의 주사위의 6 점)이 차지 했던 위 부분의 32 자리의 주사위의 총점을 32 로 나눈 이 지역의 에너지 밀도의 변화를 그리고 있으며, 빨간색 곡선은 처음에 0점이 이 나머지 68 자리의 에너지 밀도를 따라가며 그린 것입니다. 따라서 그림 7 과 같은 초기상태에서 시작한 시늉내기 그림(그림 8)은 파란색 곡선은 5.0에서 빨간색곡선은 0.0에서 시작하고 두 곡선은 모두 비김점 e = 1.6 에 도달할 것입니다. 이 에너지밀도를 표시하는 눈금은 생략하였는데 바닥은 0.0 이고 천정은 5.0입니다. 이들 곡선이 같아 진다는 현상은 비김 상태의 한 특성인 균질성을 이 시늉내개는 구현한다는 것입니다.

오른쪽 아래 그림은 시늉내기시간이 위 그림의 오른쪽 벽에 도달한 다음 엔트로피만을 다른 눈금을 잡아 그 요동을 확대하여 그린 것입니다. 이 경우 몬테칼로 걸음(시간 경과 )수는 좌상 쪽에 표시하였습니다. 지우지 않고 겹쳐 그린 것은 같은 점은 되풀이하지 않고 다른 배열을 누비고 있다는 사실을 보여 주기 위해서 입니다.

자 그러면 직접 해 보세요. 다음 버튼을 누르세요.

여러분이 이 시늉내개를 써서 관찰하고 배울 사실은 많이 있습니다. 그중에서 몇 가지를 늘어 놓겠습니다.

가) 무엇보다도 이 시늉내개의 동기가 되었던 초기 상태의 자국이 완전히 살아지는 시간, 즉 풀림 시간을 어떻게 잴 수 있는가의 문제를 생각해 봅시다. 결국은 엔트로피가 극대점에 도달하는 시간이 되겠지요 그때에 진행을 "Suspend" 단추를 눌러 그 배열을 확인해 보세요.

나) 비김 상태는 모두가 고르게 되는 상태이다. 에너지 밀도가 고르게 되고 불변하는 것을 확인해 보세요

다) 안되짚기성(비가역성, irreversibility), 열역학의 제2법칙을 확인 합시다. 안되짚기성은 엄격히 말하면 컴퓨터에서는 실현 불가능합니다. 왜 그럴 가요? 컴퓨터의 모든 알고리즘은 주기적입니다. 컴퓨터의 상태는 유한하기 때문이지요. 그러나 주사위의 개수가 충분히 크면 (100 개면 충분) 이 몬테칼로 걸음을 걸려서는 초기상태 또는 그와 비슷한 상태에 돌아 올 확률은 거의 0입니다.

라) 엔트로피의 요동이 주사위의 개수가 크면 자꾸 줄어 든다는 사실을 확인하세요. 엔트로피나 일부분의 에너지밀도 따위의 요동은 이론적으로는 주사위의 개수 N 이 증가하면 에 비례하여 줄어 듭니 다.

마) 다음 번의 시늉내개에서 보이겠지만 여기서도 에너지밀도 와 비김 엔트로피 값 (견줌값)과의 관계를 여러 에너지 밀도를 대입하면서 검토해 보세요. 이 주사위계는 조금 특이한 점이 있습니다. 보통은 에너지밀도가 증가하면 비김 엔트로피 값도가 증가하는데 이 계의 경우에는 에너지밀도가 2.5 (주사위의 점수로는 3.5)를 넘어 서면 다시 감소합니다. 당연한 결과이지요. 에너지 밀도가 5.0(주사위의 점수로는 6.0) 이면 배열은 가지수는 단 1 개밖에 없으니깐요.

바) 엔트로피의 견줌양이 주사위의 개수에 따라서 바뀌지 않는다는 사실을 확인하세요. 이 말은 엔트로피가 크기변수 즉 주사위의 개수에 직 비례한다는 사실을 말해 줍니다.

---- 제 3 장 끝---------------

제 4 장

제1장 머리말-페이지의 배경

제2장 작은 바른틀 몬테칼로 방법

제3장 열 풀림과정 시늉내기

제4장 엔트로피 다시 보기

제5장 통계물리적 온도

제6장 막스웰 볼쯔만 분포

제7장 맺는 말