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제2장 작은 바른틀 몬테칼로 방법
제3장 열 풀림과정 시늉내기
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작은 바른 틀 몬테 칼로 방법이라는 용어는 처음 마주친 학생에게는 조금 생소한 이름이지요. 먼저 몬테 칼로라는 이름의 유래에 대해서 말하지요. 프랑스의 남쪽 지중해를 마주 보는 이태리와의 국경지대에 모나코라는 작은 나라가 있습니다. 한 40 년쯤 전에 미국에서 한참 잘 나가던 여배우 그래이스 케리가 이 나라 왕과 결혼하는 사건이 있어 이 작은 나라는 세상을 떠들썩하게 했습니다. 이 나라의 서울의 이름이 몬테 칼로인데 이 곳은 카지노라는 도박장으로 유명합니다. 바티칸 다음으로 작은 독립국으로 국가 재정은 이 카지노 영업에서 생기는 수입으로 꾸려 나가고 있습니다. 도박을 즐기는 세계의 노름꾼들이 자신의 도박 운을 주사위에 걸기 위해 몰려 듭니다. 1942년 2 차 세계대전의 폭연이 막 피어 오르던 때 미국 서부지역에 있던 로스 알라모스의 비밀 연구소에서는 세계의 초 일류 두뇌들이 모여서 원자탄 개발을 서두르고 있었습니다. 이 지음 제 1 세대의 컴퓨터가 이곳에서 그 모습을 들어 내기도 했지요. 이곳에 연구하던 유램이라는 수학자가 매트로포리스와 몇몇 수학, 물리학자와 함께 수치 셈을 하는 한 방편으로 확률적 방법을 생각 해 내었습니다. 이 생각을 처음 한 유램이 제안한 이름이 몬테 칼로 방법입니다. 모나코의 카지노를 떠 올리고 지은 이름이 아닌가 생각합니다. 카지노나 수치적분이나 모두 주사위를 던져서 그 목적을 달성한다는 점에서 같은 동아리에 속한다고 볼 수 있기 때문입니다. 작은 바른 틀 모듬 (Microcanonical ensemble) 방법이라는 것은 통계물리의 여러 방법 중의 하나인데 에너지를 고정시켜 열적인 요동을 허용하지 않는 모듬(확률적 대상)을 말합니다. 에너지를 고정시킨다는 말은 열을 차단하여 고립시킨 대상을 생각하면 됩니다. 우리가 주사위를 원자라 보고 주사위 닷(dot, 점)수를 에너지 값에 비유한다면 주사위의 총 점수 260 에 정하게 고정시키는 배열의 모듬은 바로 작은 바른 틀 모듬이 됩니다. 따라서 주사위의 총 점수를 260 에 고정시켜 그 배열의 확률적 분포를 따지는 것은 바로 작은 바른 틀 방법입니다. 우리가 그러한 조건아래에서 주사위를 던진다는 말은 작은 바른 틀 모듬을 얻는 것과 마찬가지입니다. 자 그러면 작은 바른틀 모듬을 실현해 봅시다. 100 개의 주사위의 총 점수가 260 인 배열들의 모듬을 어떻게 구현할 수 있을 까요? 처음에 총점이 260 점인 임의의 배열을 인위적으로 만듭니다. 가장 간단한 방법은 주사위를 아래 그림과 같이 늘어 놓는 것입니다.
그림4 작은 바른틀 몬테칼로 데모 시늉내개의 초기 상태
32 개의 주사위를 6 점이 되게 하고 나머지 68 개의 주사위를 1점이 되게 선택하는 것입니다. 매우 인위적인 선택이지만 어떤 총점이라도 모두 이 방법으로 만들어 낼 수 있습니다. 261점의 배열은 1 점 자리 하나를 2점자리로 바꿔 놓으면 되고 262 점 자리는 1 점 자리를 3 점 자리로 바꿔 놓으면 되니까요. 이제부터가 중요합니다. 이 인위적인 배열에서 인위적인 냄새가 전혀 없는 가장 마구잡이 배열을 어떻게 만들 수 있을까요. 그 방법은 아주 정교합니다. 먼저 임의 주사위를 고릅니다. 눈 감고 더듬어서 고릅니다. 그리고 그것을 굴려 봅니다. 새 점수가 나왔지요. 이 새 점수가 주사위 총 점수의 값을 바꾸어 놓겠지요. 이 새 총 점수가 255점 보다 크고 265 점 보다 작을 때에는 새 주사위 값으로 바꿔 놓습니다. 이 범위밖에 나가면 주사위를 원 상태로 다시 되돌린 다음 제 자리에 갔다 놓습니다. 따라서 이런 경우에는 아무 것도 바뀐 것이 없는 셈이지요. 이 방법을 크로이츠 교수가 제안하면서 설명할 때에 주사위 점수를 원자의 에너지 준위로 잡았기 때문에 이 에너지 준위를 주사위 굴리듯 바꿔주는 주체를 작은 마귀(이 것은 또 옛날 영국의 물리학자 막스웰이 다른 문제를 다룰 때에 가상적인 존재로 마귀, (작기 때문에 요정이 더 어울릴지 모르겠네요)를 언급한 데에서 유래)로 잡아 이 마귀가 에너지 교환을 수행하도록 했었습니다. 이 때에 위에서 언급한 제한 조건을 구현하는 방편으로 마귀가 일정 용량의 주머니를 가지고 다니면서 에너지를 주고 받게 하였습니다. 우리의 경우를 보기 삼아 설명하겠습니다. 이 경우 이 주머니의 용량은 10 점의 닷 (dot)을 넣을 수 있는 크기이고 처음 시작할 때에 5 개의 닷이 주머니에 있습니다. 이제 마구잡이로 고른 주사위 하나를 굴려서 얻은 점수가 총점을 증가시켰다면 마귀의 주머니에서 증가한 만큼 꺼내 채워 줄 수 있으면 새 점수를 받아 들이고 또 굴리기 전의 점수보다 감소하는 경우에는 떼어내는 닷 수를 주머니에 담을 여유가 있을 때에만 새로 바뀐 점수를 수용하는 것입니다. 이러한 관점에서 보면 주사위 100 개와 마귀의 주머니 속의 닷 수는 265 개로 보존되는 양이 되겠습니다. 위의 그림은 이 마귀와 그 주머니와 그 안에 들어 있는 닷(dot) 수를 나타내고 있습니다. 위에서 길게 설명한 방법을 계속 수행하다 보면 주사위의 총점은 (255, 265) 점의 범위 안에서 오락가락 할 것입니다. 이런 과정 중에 주사위의 총점이 260 점이 되는 배열을 얻게 되면 그것이 처음으로 얻는 총점이 260 점인 마구잡이 배열이 됩니다. 그러나 처음 몇 번 얻게 되는 배열은 여전히 위의 그림과 같이 인위적으로 만든 배열의 흔적이 많이 남아 있는 것을 쉽게 알아 볼 수 있습니다. 아래 그림은 이 과정을 몇 번 거쳐 얻은 배열입니다.
그림5 작은 바른틀 몬테칼로 데모 시늉내개를 몇 번 수행한 다음의 배열
아직도 처음 만든 배열을 많이 닮아 있지요. 즉 1 점과 6 점이 아직도 많이 남아 있습니다. 얼마나 많이 이 과정을 되 풀이하여야 처음의 인위적 배열의 흔적을 완전히 없앨 수 있을 가요. 열 물리에서는 완전한 마구잡이 상태가 되는 것을 비김에 이르렀다고 합니다 그리고 그 시간을 풀림 시간(relaxation time) 이라고 합니다 . 돌덩이 하나를 뜨거운 난로에 몇 분 올려 놓았다가 꺼내 보세요. 난로에 닿았던 부분은 뜨겁고 다른 쪽은 여전히 차갑지요. 가만히 놓아 두어 보세요. 뜨거웠던 부분은 다시 식기 시작하고 찬 부분은 천천히 따뜻해져 전체적으로 고르게 미지근해 집니다. 이러한 열 현상과 이 작은 바른틀 몬테칼로 과정은 매우 닮아 있습니다. 그리고 이 때에 전체적으로 비김에 돌아 오는 데에 걸리는 시간을 열 풀림 시간이라고 부르지요. 다음 애플릿을 열고 이 작은 바른틀 몬테칼로 방법을 직접 시늉내어 보고 지금 내가 이야기 한 것들을 잘 음미 해 보세요. "Select & Roll" 단추를 누르면 임의의 주사위가 선정되고 굴려집니다. 이 과정이 오른쪽 칸의 마귀 아이콘 위에 표시되는데 이 때에 증가 또는 감소량이 "+/-" 수자로 표시됩니다. 이 수자가 "+" 이고 마귀의 주머니에 이 수자(주머니 속의 닷 수 또는 그 오른쪽에 표시되는 수자)만큼의 닷이 있으면 새로운 주사위 값을 받아 들이고 없으면 원래 주사위 값으로 환원합니다. 즉 "Yes" 면 새 주사위 점수가 수용되고 빨간 "No!" 이면 원래의 주사위 값으로 환원됩니다. 이 과정은 "Replace or Put it back" 이라는 단추를 눌러 수행합니다. 또 증 감량이 "-" 수이면 수자에 맞는 닷이 들어 갈 자리가 주머니에 있으면 새 점수는 수용되고 그렇지 않으면 주사위는 던져지기 전의 상태로 돌아 가서 선택되었던 자리에 다시 놓여 집니다. 이 역시 "Yes" 와 "No!" 로 표시됩니다. 오른쪽 꼭대기의 두 수자는 시작할 때 주사위의 총점이고 아래 수자는 현재 주사위의 총점입니다. 이 수자와 아래 마귀 오른쪽 수자와 합친 값은 불변입니다. 현재 총점이 시작 총점인 260 점이 되면 빨간 글자로 빙고! 260 이라고 크게 켜집니다. 그러면 아래의 버튼을 눌러서 실제로 시늉내기를 해보세요. 100번 듣는 것보다 한번 보는 것이 100 번 보는 것보다 1 번 행하는 것이 낫다는 격언이 있습니다. 해 보세요.
자 이렇게 하여 총점이 260 점이 되는 100 개의 주사위의 마구잡이 배열을 얻는 방법을 설명 드렸습니다. 끝으로 1 몬테칼로 걸음(1 Monte Carlo )이라는 용어를 정의하여 쓰는데 우리는 총점이 260 이 되는 배열에서 다음에 260 점이 되는 배열을 얻기 까지의 몬테칼로 수행을 1 몬테칼로 걸음으로 정의하겠습니다. 다음장으로 갑시다. ---------------제 2장 끝--------------- |
