l주사위만 던져도 열 물리의 기본을 이해할 수 있어요.-----제 1 부
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제 1장 머리말) 페이지의 배경
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제1장 머리말-페이지의 배경 제2장 작은 바른틀 몬테칼로 방법
제3장 열 풀림과정 시늉내기
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열 물리학은 가르치기도 어렵고 배우기도 어렵다는 이야기를 많이 합니다. 특히 대학 일 학년 과정의 물리학 과정에서 그렇습니다. 대학 일 학년 일반물리과정에서 열 물리를 어떻게 가르치나 하는 방법을 영문으로 써서 웹 페이지에 올려 놓았습니다. 영문이기 때문에 읽기 어렵고 또 상당 부분이 가르치는 교사를 대상으로 한 것이기 때문에 학생들에게 좀더 쉽게 친절한 입문서가 필요할 것이라는 생각이 들어서 이 페이지를 작성하게 되었습니다. 주사위는 우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 낯 익은 물건입니다. 여러 가지 게임을 할 때 보조 도구가 되는 물건입니다. 아래에 색깔을 칠한 주사위를 가져 왔습니다.
그림 1 색칠한 주사위 매우 익숙한 물건입니다. 우리나라(?)의 전통 놀이에 쌍육이라는 놀이가 있습니다. 말이 있고 말판이 있고 말판 위에서 말이 움직이는 것은 윷놀이와 비슷합니다. 다만 말이 움직이는 방법을 주사위 두 개를 던져서 정합니다. 내가 어렸을 때에 어머니에게 배운 일이 있는데 하도 오래되어 자세한 규칙은 잘 기억이 안납니다. 그런데 이 주사위가 열 물리의 기본 원리를 이해하는 데 더할 나위 없이 훌륭한 도구가 된다는 것입니다. 주사위는 원자를 시늉 내고 원자의 열 운동은 주사위를 던져 얻는 마구잡이 결과로 시늉 낼 수 있기 때문입니다. 주사위를 하나를 던져 보면 각 각의 수자는 고르게 나옵니다. 물론 주사위가 정 6 면체이며 균일한 재질로 만들어졌다는 가정을 했을 때 말입니다. 서양사람들은 주사위를 가지고 도박을 하는데 크랩 게임이라고 하지요. 주사위 두 개를 가지고 던지는데 2에서 12 까지 11점의 수자가 나올 수 있지요. 여기에 돈을 걸고 놀음을 합니다. 그런데 이번에는 그 수자가 모두 고르게 나오지 않지요. 2, 나 12 은 아주 드물게 나옵니다. 아주 잘 나오는 수자가 무엇일까요. 던져 보지 않아도 답할 수 있나요? 합해서 7 이 아주 잘 나옵니다. 왜? 그것은 7 은 (1,6), (2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)의 조합으로 나오는데 2 나 12 은 오직 한가지 조합, (1,1) 이거나 (6,6) 이 될 때에 나오기 때문이지요. 2 나 12 보다 7은 여섯 배 잘 나옵니다. 이것은 윷놀이에서 개가 윷이나 모보다 자주 나오는 이유와 마찬가지입니다. 그런데 오늘 여기서 나는 두 개가 아니고 100 개의 주사위를 던지려고 합니다. 주사위 100 개를 던지되 그 총합이 260 이 되게 던지려고 합니다. 그랬을 때 그 마구잡이 배열가운데 가장 전형적인 배열이 어떤 것인가를 알아 보려는 것입니다. 가장 전형적이라는 말은 가장 잘 나오는 배열을 말합니다. 가장 확률적으로 일어 나기 쉬운 배열은 열 물리에서는 비김 상태의 배열이라고 합니다. 어떻게 총합이 260 이 되는 가장 전형적인 배열을 얻을 수 있을 가 하는 문제는 그리 쉬운 일이 아닙니다. 가장 쉽게 생각나는 방법은 우선 100 개의 주사위를 마구잡이로 던집니다. 그리고 그 나온 수자 총합이 얼마인가를 조사합니다. 만약 260 이 아니면 다시 새로 던져 봅니다. 또 다시 조사하여 260 이 아니면 버리고 다시 던집니다. 집요하게 이 과정을 되풀이하면 언제인가는 260 개의 배열을 얻게 되지 않을 가요? 그러나 그 방법은 실패합니다. 그 이유는 간단합니다. 앞에서 두 개의 주사위를 던지면 그 합은 7 즉 평균 7/2 = 3.5 가 가장 잘 나오는데 주사위의 수자가 커지면 이 확률의 비는 점점 커집니다. 실제로 던져 봅시다. 컴퓨터는 이런 일을 잘 대신해 줍니다.다음"Open" 버튼을 눌러 보세요. 아래와 같은 주사위 던지기 놀이를 할 수 있어요.
그림 2 마구잡이 배열을 한 100 개의 주사위
"Throw" 버튼을 눌러서 주사위를 던져 보세요. 260을 쉽게 얻지 못하지요. 마우스로 여러번 크릭하기도 지루하니까 자동으로 던지게 해볼 까요. 주사위 개수와 던질 회수를 먼저 정한 후에 자동 던지기를 해 봅니다. 그 결과가 나옵니다. 아래 그림과 같은 결과에요.
그림 3 100 개의 주사위를 자동 던지기를 했을 때 얻은 총점 분포도
100개의 주사위를 4000 번 던진 결과입니다. 위의 왼쪽 그림은 그 회수가 0 이 아닌 점수의 빈도를 그림으로 그린 것입니다. 다시 말하면 288 점 보다 작은 점수는 한번도 안나왔고 415 보다 큰 점수도 한번도 안나왔고 가장 많이 나온 점수는 357점으로 107 번 나왔습니다. 100 개의 주사위가 만드는 점수는 100으로부터 600까지니까 이 범위(Range) 의 약 25% 의 점수만이 350(= 3.5 x 주사위개수)점 앞뒤로 한번이라도 나온다는 이야기입니다. 아래 단추를 눌러 애프렛을 띄워서 직접 시늉내기 실험을 해 보세요. 260 점을 이러한 식으로 얻을 수 없다는 말에 쉽게 수긍할 수 있을 것입니다. 실제로 그 확률을 셈하여 보면 우주의 나이만큼 오래 시늉내기를 수행한다 하여도 260 점은 얻을 수 없다는 결과를 얻습니다. 아래 버튼을 눌러서 직접 해 보세요.
여기서 가외로 얻는 사실은 주사위의 개수를 늘려 가면서 실험을 해보면 나올 수 있는 점수 상대 범위(%)는 주사위의 개수가 크면 클수록 작아 진다는 사실입니다. 이 것은 열 물리에서 아주 중요한 사실입니다. 여러 번 시늉내기 실험을 해 보면서 이 사실을 확인 하세요. 아주 깊은 수학적인 분석을 하지 않아도 대강 그럴 듯한 설명을 해 드릴 수 있어요. 100 개의 주사위를 던지면 그 가지수는 주사위 하나 하나가 여섯 가지로 나올 수 있으므로 6x6x6x.... 6 = 6100 개의 가지수가 있는데 나올 점수의 범위는 100에서부터 600 까지 501 개입니다. 총합이 100 또는 600 이 되는 가지수는 각각 단 1 개 밖에 없기 때문에 100 점이나 600 점이 나올 확률은 10-78 입니다. 우주의 나이를 초로 따지면 1018 쯤 됩니다. 일 초에 100 번 던지는 시늉내기를 한다 해도 우주나이 동안에 100점이나 600 점을 얻을 확률은 10-78 x 1020 =10-58으로서 상상할 수 없는 작은 수자입니다. 비록 260 점이 되는 배열의 가지수는 엄청나게 많아도 350점이 되는 배열의 가지수에 비하여 아주 작을 것이라는 것은 쉽게 추측할 수 있을 것입니다. 여기서 주목할 점은 주사위의 개수(N)가 늘어나면 그 나오는 점수의 범위(E)는 대수(비례) 함수로 증가하나 그 가지수(W)는 주사위의 개수의 지수함수로 커진다는 사실입니다. 즉, 이 사실이 주사위의 개수를 키우면 점수의 상대범위가 작아지는 원인입니다. 잘 음미 해 보세요. 열 물리를 이해하는데 아주 중요한 성질입니다. 이 사실에 익숙치 않아서 열 물리의 바탕을 이해하는 데에 어려움을 겪고 있어요. 이제 본론으로 돌아와서 그러면 100 개의 주사위를 던져서 260점이 되는 마구잡이 배열을 어떻게 생산할 것인가를 생각해 봅시다. 미국의 로스 알라모스 국립 연구소의 마이클 크로이츠 교수가 창안했고 필자가 더욱 정교하게 다듬은 작은 바른 틀 모듬 몬테 칼로 방법이 아직까지는 유일한 방법입니다. 다음 장으로 넘어 갑시다. ---------------제 1장 끝--------------- |
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