주사위만 던져도 열 물리의 기본을 이해

주사위만 던져도 열 물리의 기본을 이해할 수 있어요. -----제 2 부
표지		만든이 서울대학교 물리학과 이구철
		제4 장 엔트로피 다시 보기
제1장 머리말-페이지의 배경 제2장 작은 바른틀 몬테칼로 방법 제3장 열 풀림과정 시늉내기 제4장 엔트로피 다시 보기 제5장 통계물리적 온도 제6장 막스웰 볼쯔만 분포 제7장 맺는 말		열 물리학의 중심개념은 무엇이라고 해도 엔트로피입니다. 앞장에서는 주사위 던지기의 보기를 들어 엔트로피를 정의했습니다. 볼쯔만의 유명한 공식 을 써서 정의했습니다. 앞장에서는 주사위의 총점이 T인 N 개의 주사위의 배열의 개수 W(T)를 (7) 로 정의 하면서 """ 는 합산을 할 때에 아래의 두 조 건 n₁+n₂... +n₆ =N (4) . (6) 을 만족시키는 항만을 골라 합하는 것이라 하였습니다. 그런데 (7)식에서 가장 큰 항 한 개로 대치가 가능하다고 하였습니다. 즉 . (15) 그렇다면 일반적인 항은 무엇인가? 즉 그것은 안비김 상태를 나타내는 배열의 개수를 나타낸다고 하였습니다. 따라서 안비김 상태를 나타내는 엔트로피를 (16) 로 정의하였습니다. 그런데 오늘은 조금 색다른 엔트로피를 정의하고 보여 드리겠습니다. 수식은 아무리 쉽게 써도 머리에 들어 오지 않습니다. 여러분이 머리가 나빠서 그러한 것이 아니니까 안심하세요. 오늘 보여주고 정의하고 토론할 엔트로피의 출발점은 역시 지난 제 1부 제 3장에서 초기화 상태에서 보여 주었던 총점이 260 점인 100 개의 주사위의 잘 정돈된 배열입니다. 그런데 지난 1부 마지막인 제 3장부터 주사위의 점수를 0, 1, 2, 3, 4, 5로 1 점씩 낮추어 정했지요. 그러니까 여기서도 총점이 160 점이 되는 주사위의 배열로 시작합니다. 그리고 점수는 색깔로 나타냅니다. 아래 그림을 보세요. 그림9 총점이 160점인 100개의 주사위를 5점짜리 32개 0점짜리 68개로 구성한 배열 위의 배열을 보면 매우 정돈되고 질서가 잡혀 있습니다. 그러면 엔트로피는 어떻게 되나요. (16) 식으로 정의한 엔트로피로 본다면 위의 배열도 개의 개수 안에 하나 로 포함되어 들어 있습니 다. 그러 나 이 조건은 너무 거친 분류입니다. 이 분류는 주사위의 점수의 분포를 특성으로 한 분류법입니다. 주사위의 점수의 공간적 분포는 무시한 것입니다. 그런데 위의 그림에서 보듯이 정돈된 상태로 인식되는 것은 오히려 공간적 분포인 5점짜리가 모두 위에 몰려 있고 0점짜리는 아래에 몰려 있다는 특성에 있습니다. 그러면 점수의 분포로만 특성지은 배열을 좀더 자세히 분류할 필요가 있습니다. 즉 같은 점수분포 를 갖는 배열을 공간적 배치의 특 성을 집어 넣어 보다 자세한 분류를 해 봅시다. 여러 가지 방법이 있겠지만 가장 손쉬운 방법은 위의 32 자리와 아래의 68 자리에 보이지 않는 경계선을 긋고 이 경계선 위(32자리구역)에 0점짜리가 몇 개 가 들어 있느냐 , 즉 위쪽 구역에 0점짜리가 차지하는 개수 를 맺 음 변수로 하여 분류할 수 있습니다. 즉 이 변수 하나만 결정되면 특성이 결정됩니다. 즉 위쪽 구역에 5점짜리 개수 이고 아래 쪽 구역에 0점짜 리 주사 위의 개수 는 이고 5점짜리 주사 위의 개 수는 가 되 기 때문입니다. 이제 라는 맺음 변수로 세분화된 배열의 개수 를 셈 하 여 봅시다. 윗 구 역 의 가지수는 이고 아래 구역의 배열가지는 따라서 총점이 T 인 100 개의 주사위가 위 구역에 개의 0점짜리가 놓 일 가 지수는 가 됩니다. 물론 를 0 에서 n ₀까지 합치면 (15)식의 W(T)이 됩니다. 즉, (18) 이 경우도 주사위의 개수가 커지면 (13)식의 맥락으로 가장 큰 값을 갖는 한 개의 항으로 대치된다는 사실을 기억해 두시기 바랍니다. 즉 이 되 면 (19) 여기서 는 물론 을 극대화 시켜 주 는 n ₀ 값이지요. 이제 이 분류법으로 셈한 가지수를 가지고 일반화된 엔트로피를 정의하면 (20) 가 됩니다. 시각적으로 잘 정돈된 배열은 주로 공간적 배열 특성입니다. 위의 그림의 경우 엔트로피는 S = 0입니다. 왜냐하면 n₀ =32 가 되는 배열가지수는 이 기 때문입니다. 위의 애프렛은 이 주사위를 단순히 공간적 배열만을 휘 저 놓는 과정을 하나 더 시늉내게 만들었습니다. 즉 "rand"라는 버튼은 주사위 두 개를 마구잡이로 선택한 다음 굴리지는 않고 서로 자리만 바꿔 줍니다. 이 경우 주사위의 점수는 바뀌지 않으므로 (16) 식으로 정의한 엔트로피를 쓴다면 엔트로피 값은 불변입니다. 이 시늉내기과정은 알갱이의 섞임 또는 분자의 퍼짐을 시늉 낸다고 볼 수 있습니다. 푸른색 알갱이와 빨간색 알갱이 뒤섞이는 과정 또는 5점짜리를 분자로 보고 0점짜리는 빈 공간이라 본다면 이상기체 분자의 자유 불음(free expansion)을 보고 있다고 할 수 있습니다. 이 애프렛의 버튼이나 제어 맺음 변수들은 모두 제 1부 제 3장의 애프렛 의 것과 똑 같습니다. 몇 가지 새로운 버튼은 "rand", "therm", "r and t" 인데 "rand" 는 이미 설명했고 "therm" 은 제 3장 애프렛 의 작은 바른틀 몬테 칼로를 실행시킨 것입니다. 그리고 "r and t" 는 입력된 시간의 2/3 는 "rand", (randomize) 시키고 나머지 1/3 시간은 "therm"(thermalize) 시키도록 명령하는 버튼입니다. 단 여기서 엔트로피는 두 구역의 엔트로피를 각각 (16)식으로 셈한 다음 이를 더한 총 엔트로피를 주사위의 개수로 나눈 값입니다. 스터링의 어림 엔트로피는 (16)식을 셈할 때에 그 사다리곱(계승, factorial)들을 스터링의 어림공식 (17)식을 써서 셈한 것입니다. 그림10 그림 9에서 위와 같은 맺음 변수로 "rand" 버튼을 눌러 실행시킨 결과 오른쪽 아래 빈 칸에 "Current entropy"는 매 순간의 엔트로피를 수자로 나타낸 것이고 둘째 줄의 "Max. rand ent" 는 (16)식으로 셈한 엔트로피입니다. 이 값은 "rand" 과정에서 불변입니다. 개수 n₀ = 68, n₅ = 32 가 불변이기 때문입니다. 그런데 두 값이 차이가 나는 것은 왜 그럴 가요? (18)식과 (20)에는 차이가 있기 때문이지요. 이 차이는 열역학적 극한 에서는 사라지 는 차이입니 다. 크기를 키우면서 관찰해 보세요. 엔트로피의 의미 수식으로 엔트로피는 정의하였는데 그 뜻하는 바는 무엇일까요? 우리가 그림 9에서와 같이 인위적인 배열을 만들어 놓았을 때 (20) 식으로 정의한 엔트로피는 0 이라고 하였습니다. 한편 그림 10에서와 같이 마구 휘 저 놓아 마구잡이 배열을 얻게 되면 엔트로피는 0.58375 로 증가하였습니다. 그림 9 의 배열과 그림 10 의 배열은 눈으로 그 특성을 잘 분별할 수 있습니다. 그림 9의 배열은 잘 정돈되어 있고 그림10의 배열은 무질서해 보입니다. 그래서 엔트로피는 무질서(disorder)의 정도를 나타낸다는 말도 씁니다. 또 마구잡이(randomness) 정도를 나타낸다는 말도 씁니다. 그런데 셰논(Shanon)이 엔트로피의 정보 이론적 정의를 내린 이후 또다른 해석이 널리 퍼지게 되었습니다. 그것은 우리가 주사위의 배열에 대한 정보(정확히는 무 정보-무지(ignorance))를 나타내는 양이라는 해석입니다. 엔트로피는 무지의 척도라는 것입니다. 엔트로피가 크면 클수록 우리는 잘 모른다는 것입니다. 가지수가 많아지면 많아질수록 우리는 그 중에 어느 것인지 모르기 때문입니다. 따라서 예측 능력이 떨어집니다. 그림 9 의 경우 우리는 배열의 가지수가 단 하나이기 때문에 어느 위치에 몇 점짜리 주사위가 있는지를 확률 1 로 예측할 수 있습니다. 한편 그림 10의 경우에는 그 배열은 가지수가 (21) 이므로 그림 9는 이 중에 단 하나일 뿐입니다. 아래 그림을 보세요. 32 개의 5점짜리 주사위가 마구잡이로 흩어져 있지요. 제일 왼쪽 꼭대기 위치에 5점짜리고 올 가요 0점짜리가 올까요. 잘 모른다는 것은 예측이 어렵다는 것입니다. 그림11 그림 9에서 "rand" 버튼을 눌러 실행시킨 또 다른 결과. 그림10 과 비교해 보세요 아래의 애프렛을 실행 시켜 보면서 그 뜻을 곱씹어 보세요. 컴퓨터 시늉내개와 푸앵카레 주기, 안되짚기 과정 위의 시늉내개에서 막휘젓기 과정을 계속 진행한다면 그림 9 와 같은 정열된 질서 잡힌 배열을 얻게 될 가요? 이론적으로는 그 답은 "예"입니다. 컴퓨터는 유한한 기계이기 때문에 오랜 연산을 수행하면 초기 상태에 돌아옵니다. 컴퓨터가 아니라도 이 배열의 총 개수는 (19)식에서 셈하여 보면 (21) 식을 얻게 되니까 10²⁵번 던지면 평균 한번 꼴로 그림 9 의 초기 상태로 돌아 올 것입니다. 이 되돌아 오는 시간을 푸앵카레 주기 (Poincare cycle)라 부릅니다. 이 10²⁵라는 수자는 어떤 수자입니까? 우주의 나이가 10¹⁸초가 못됩니다. 푸앵카레 주기는 우주의 나이의 10⁷배 가 된다는 말입니다. 그렇다면 1 초에 100 번 꼴로 우주나이동안 던진다 하여도 그림 9의 초기배열로 돌아 올 확률은 10^-5라는 결론이 나옵니다. 그냥 우리가 보통 살면서 보통의 속력으로 변화를 체험하는 세계에서는 이러한 일은 경험할 수는 없는 일이지요. 그래서 한번 변하면 되짚을 수 없다는 의미에서 안되짚기과정(irreversible process)이라는 말이 나왔습니다. 한번 일어난 일은 되 돌아가지 않는다라는 뜻입니다. 다시 말하면 안되짚기 과정이란 푸앙카레 주기가 너무 길어서 우주의 역사기간에서는 되돌아 가지 않는다는 말입니다. 다음 장으로 넘어 갑시다. ---------------제 4장 끝--------------- 제5장

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