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제2장 작은 바른틀 몬테칼로 방법
제3장 열 풀림과정 시늉내기
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앞장에서 엔트로피 시늉내기를 다루었는데 작은 바른 틀 몬테칼로이건 마구잡이 휘젓기 건 간에 마구잡이로 이르게 하는 시늉내개는 엔트로피를 증가시키는 방향으로 진행하는 것을 관찰할 수 있습니다. 기본적으로는 이 시늉내개는 주어진 조건아래에서는 모든 배열을 고르게 누비는 셈법들입니다. 고르게 누빈다는 말은 다시 강조하지만 모든 허용된 배열을 같은 확률로 구현한다는 뜻입니다. 어떤 특성의 배열을 선호함이 없이 고르게 누빈다는 뜻입니다. 이러한 운동(이 마구잡이 시늉내개를 열적 운동을 시늉 낸다는 의미에서)을 어려운 말로 에르고딕(ergodic) 이라고 부릅니다. 그런데 실제로 우리가 관찰하는 물체의 원자배열은 어떤 확률 분포를 가지고 나타나겠는가 하는 점입니다. 우리의 가정은 주어진 조건에 합당하는 미시적 배열은 모두 같은 확률로 나타난다고 하는 것입니다. 하등 특별한 배열을 선호할 아무 이유가 없기 때문입니다. 그렇다 하더라도 그것은 어디까지나 가정이고 그 가정의 진위는 물리학의 모든 법칙과 마찬가지로 실험과 관찰에 의하여 판가름 납니다. 아직까지 이 가정에서 연역된 통계역학의 결과는 이 가정의 정당성을 입증하고 있습니다. 이 가정을 통계역학에서 "같은 선험확률의 원리"(principle of equal a priori probability)라 부릅니다. 따라서 위에서 이야기한 에르고딕 운동의 시늉내기는 이 같은 선험확률의 원리를 구현하는 셈법인 셈입니다. 이 원리가 맞는 미시세계에서는 열적 운동은 당연히 가지수가 많은 특성의 배열로 갈 것입니다. 제 1 부 3장의 애프렛이 바로 그것을 보여 주었습니다. 이 장에서는 두 물체가 열적 안비김 상태에 있다가 열적 비김 상태로 갈 때에 어떤 방향으로 진행하는가를 살펴 보려 합니다. 그리하여 최종 열비김 상태에 이르면 어떤 조건이 만족되는가를 알아 내려는 것입니다. 먼저 물체의 특성을 맺어 주는 맺음변수가 모두 다른 두 물체를 함께 생각합니다. 그런데 두 물체는 모두 주사위 집단으로 되어 있습니다. 이 두 물체를 A 와 B로 부르겠습니다. 초기에는 물체 A 와 B의 총 에너지 (주사위의 총점)는 각각 따로 정해 지며 그 크기나 주사위의 면수도 각각 따로 정해 줍니다. 아래 그림을 보세요.
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그림12 서로 다른 구조의 주사위 집단(물체) A와 B가 각기 다른 맺음 변수를 가지고 안비김 상태로 배열되어 있는 초기 화면.
제1장 머리말-페이지의 배경 제2장 작은 바른틀 몬테칼로 방법
제3장 열 풀림과정 시늉내기
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위의
그림에서 주사위로 구성된 두 물체는 단열 벽에 의하여 갈라져 있습니다.
단열 벽은 각 물체의 총 에너지를 일정하게 유지시켜 줍니다.
에너지 e 는 총 에너지를 주사위수 (LxL)로 나누어 준 것입니다.
이 시늉내개는 제 1 부에서 설명한 작은 바른틀 몬테칼로 걸음을 A와 B에 대해 하나씩 교대로 수행해 줍니다. 단열 벽이 설정되어 있으면 각각의 에너지를 보존시키고 작은 바른틀 몬테칼로 걸음을 걷고 단열벽이 제거되면 각 물체의 에너지에는 제한을 두지 않고 총 에너지만 보존시키면서 작은 바른틀 몬테칼로 걸음을 걷게 하되 A와 B에 대해서 교대로 걷게 합니다. 이렇게 하면 열적 서로 작용을 시늉 내는 결과를 얻게 됩니다. 아래 그림은 처음부터 단열 벽을 제거한 다음 비김 상태로 가는 과정을 시늉 낸 것입니다. 이 시늉내개의 가열장
중요한 포인트는 이 시늉내개로 통계역학적 온도를 이해할 수 있다는
것입니다. 두 계가 에너지를 교환할 수 있을 때에는 각각이
엔트로피가 극대가 되는 상태가 아니라 각기 에너지를 주고 받으며 가장
엔트로피가 큰 상태 다시 말하면 배열의 가지 수가 많은 상태로 가는
것입니다. 제 1 부 제 3장 풀림 과정 시늉내기에서 엔트로피는
일반적으로 에너지가 증가하면 증가하는 경향을 보였습니다. 이러한
경향은 보편적인 것으로 통계역학에서는 이러한 성질을 만족시키는 계를
정상계(normal system)라고 부릅니다. 그런데 주사위의
경우는 비정상계가 되어 견줌 에너지가 3.5 (0에서부터
재었다면 2.5)에서 엔트로피는 극대가 되고 이 값에서 부터는 에너지가
증가하면 엔트로피는 감소합니다. 다시 말하면 가지수는 에너지의
함수로 가운데를 중심으로 대칭적으로 분포 되어 있다는 사실은 제1부
제 1장 애프렛에서 확인한바 있지요. 그래서 이러한 비정상적인
성질을 제외하기 위하여 이 시늉내개에서는 A와 B의 에너지를 중심값
위에서 같은 에너지 값 아래에서는 각 물체는 서로 에너지를 받아 들여 가장 엔트로피가 큰 상태로 가려고 할 것입니다. 에너지가 들어 오면 그만큼 배열의 가지수가 늘어나고 따라서 그러한 배열을 유지할 것입니다. 이 계는 닫긴 계로 두 계를 합친 온 계(total system)의 에너지는 변동이 없으므로 다른 계는 그만큼 에너지를 빼앗기게 됩니다. 에너지를 빼앗긴 계는 그 에너지 값에 대한 배열의 가지수가 작기 때문에 항상 에너지를 더 차지하려고 호시 탐탐할 것입니다. 이와 같이 에너지 쟁탈전이 일어나고 궁극적으로는 두 계를 합친 온 계가 가장 가지수가 많은 배열을 갖도록 에너지를 나누어 가지면서 풀리게 될 것입니다. 이제 계 A의 에너지가 EA 일 때의 가지수를 WA(EA), 계 B의 에너지가 EB 일 때의 가지수를 WB(EB) 라 합시다. 두 계를 합친 온 계의 가지수 W는 W =WA(EA)WB(EB) (22) 가 되고 총 에너지 E = EA + EB (23) 가 됩니다. 이 때 EA를 바꿔가며(따라서 EB=E - EA 도 바뀌면서) W를 극대화 시키는 EA값을 찾아 봅시다. 그 값이 최종적으로 비김 상태로 풀리면서 도달하는 각각의 계가 나누어 갖는 에너지 값이 될 것입니다. (22)식을 극대화하는 대신 그 자연대수를 취하여 극대화해 봅시다. (22) 식의 자연 대수는 바로 엔트로피입니다 . 즉 S = ln W = ln WA(EA) + ln WB(EB) = SA(EA)+ SB(EB) (24) 이 식을 (23) 식 아래에서 극대화하면
이 됩니다. 이 조건은 가지수가 가장 큰 배열, 달리 말하면 엔트로피가 가장 큰 배열을 얻기 위해서는 에너지를 어떻게 나누어 가져야 하는가를 알아 보기 위하여 만든 방정식인데 아주 재미 있는 결과를 얻었습니다. 즉 A 와 B 만의 양으로 표되는 방정식 을 얻었습니다. 다시 말하면 엔트로피가 극대가 되는 열 비김조건은 엔트로피를 에너지의 함수로 삼았을 때에 그 함수의 물매(slope)가 서로 같아지는 데에서 비김은 일어 난다는 것입니다. 아래의 시늉내개는 이러한 분석을 눈으로 볼 수 있게 하기 위하여 만든 것입니다.
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그림13 서로 다른 구조의 주사위 집단(물체) A와 B가 각기 다른 맺음 변수를 가지고 안비김 상태에서 비김 상태로 가는 과정의 시늉내기. 이 그림에서 A는 5 면을 가진 주사위 40000(=200x200) 가 주사위당 초기에너지 1.9를 가지고 시작하고 B는 7면을 가진 주사위 25600(=160x160) 가 주사위당 초기에너지 0.51을 가지고 시작합니다. 왼편에는 두 물체(주사위 집단)의 배열을 보여주고 오른편 큰 네모꼴에는 각 물체의 견줌 에너지 온도 견줌 엔트로피를 각각 다른 색으로 나타내어 그립니다. 또 두 물체의 합성계의 견줌 엔트로피(SA+SB)/(NA+NB)와 견줌 에너지(EA+EB)/(NA+NB)도 흰색과 회색으로 그립니다. 이 그림은 처음부터 단열 벽을 제거한 채 비김상태로 풀려 가도록 놓아 둔 결과입니다. 가운데 아래의 작은 네모꼴은 시간 맺음 변수를 소거하고 엔트로피를 에너지의 함수로 삼아 그린 그림입니다. 하늘색은 계 A의 것이고 빨간색은 계 B의 것입니다. 이 함수의 물매가 같아 지면 더이상 에너지나 엔트로피의 변동이 없어지며 열 비김에 도달하였음을 알 수 있습니다. 또 가운데 위의 수치들은 그라프의 값을 나타내는 수치들이고 max min 으로 끝난 값들은 각 표시량의 세로축의 눈금의 최고 및 최저값을 나타냅니다. 온도는 어림식 (30)을 써서 셈한 것입니다.
제1장 머리말-페이지의 배경 제2장 작은 바른틀 몬테칼로 방법
제3장 열 풀림과정 시늉내기
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온도의 정의
식(26)에서 얻은 열 비김의 조건은 아주 편리한 물리량을 정의할 수 있게 해 줍니다. 각각의 계의 상태만으로 정의할 수 있는 물리량으로 엔트로피의 에너지 도함수입니다. 즉 엔트로피를 에너지의 함수로 그렸을 때 그 곡선의 물매입니다. 이 물매는 각 계가 비김 상태에 있을 때에 그 상태만의 고유한 함수로서 그 상태를 나타내는 고유한 맺음 변수입니다. 이 물매가 서로 같아 질 때에 두 계는 열 비김에 이르게 되고 더 이상의 진행은 멈추게 됩니다. 이 물매를 온도라고 정의합니다. 이 정의가 온도의 통계역학적 정의입니다. 위 시늉내기 결과는 이 결론을 눈으로 보여 주기 위한 것입니다. 우리가 일상적으로 정의하는 온도도 사실은 이와 같이 두 서로 다른 물리량의 물체를 접촉시키고 나서 나중에 같아지는 물리량으로 정의합니다. 그렇다면 이 물매의 임의의 함수가 온도로 정의되어 사용될 수 있습니다. 그런데 볼쯔만의 통계역학이 도입되기 전에 온도와 엔트로피가 다른 방법으로 크라시우즈가 정의하여 사용하여 왔기 때문에 그 정의와 일치시키기 위하여 절대 온도를 이 물매의 역수로 정의합니다. 즉 이렇게 정의된 온도를 이 시늉내개로 셈하려면 (27) 식을 풀어서
로
쓸 수 있는데 위에서 1/2 은 가 됩니다. 그런데 이 식을 써서 엔트로피를 셈하자면 그 시간이 엄청나게 걸립니다. f-으로 대개 1000 내지 10000 개의 값을 얻을 때 까지 시늉내개를 돌려야 두자리 정도의 정확성을 갖는 온도 값을 얻습니다. 그러려면 이제까지의 시늉내기 시간의 1000배 내지 10000배의 시간이 걸리므로 실질적으로 이 방법은 쓸 수 없습니다. 그런데 다행한 것은 이 경우 에너지와 엔트로피만 알면 온도를 즉각 셈할 수 있는 방법이 알려져 있습니다. 이 방법은 주사위의 개수 N이 아주 커서 N의 사다리곱이 스터링의 어림공식을 만족시킬 될 때에만 쓸 수 있는 공식을 이용하는 것입니다. 이렇게 셈한 온도는 이른바 바른 틀 모듬 온도인데 참고 문헌 1 에 나와 있습니다. 이 방법은 아래의 공식을 온도에 대하여 풀어서 셈하는 것입니다. 즉 이 식에서
이 시늉내개에서는 온도를 이 방법을 써서 셈하였습니다. 실제로 N 이 5000 정도 보다 크게 되면 (29) 식으로 셈한 온도와 큰 차이가 나지 않습니다. 참고 문헌 1. F. Rief: Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw-Hill, New York, 1965), pp. 257-262 이 시늉내개는 단 열벽을 여러 가지 다른 방법으로 여닫아서 다른 여러 과정을 새롭게 만들어 내어 열비김 상태로 풀리는 과정을 시늉내게 할 수 있습니다. 아래 그림은 처음에 단열 벽을 닫은 채 각 물체가 각각 초기 에너지를 가지고 열비김 상태에 이르게 한 다음 높은 온도의 물체에서 낮은 온도의 물체에 열을 조금씩 전달하게 하고 다시 단열 벽을 닫아 각각 따로 따로 열 비김을 시킨 다음 다시 단열 벽을 열어 조금 열 교환을 허용하고 다시 단열 벽을 닫아 각각 새로운 에너지를 가지고 열 비김을 하게 한 다음 다시 단열 벽을 닫는 과정을 되풀이하여 이른바 정준 과정(quasistatic process)을 시늉내려 한 결과입니다. 그러나 두 물체의 온도 차이가 큰 경우에는 직접적인 열 교환은 그 교환열량이 아무리 작아도 엔트로피는 증가합니다. 진정한 정준 과정은 온도차이가 아주 작아진 중간 지점 이후에 어림하여 일어 나는 것을 볼 수 있습니다. 이 경우에는 각각의 에너지와 엔트로피는 서로 같은 량을 주고 받아 총 엔트로피와 에너지는 변하지 않게 됩니다. |
그림14 그림 13 과 같은 구조와 초기 조건을 가지고 준정과정을 시늉 낸 것입니다. 처음에는 단열벽을 닫은 채 물체 A 와 B 가 각기 초기 에너지를 가지고 열 비김을 할 때까지 기다립니다. 일단 엔트로피가 정점을 치고 수평선을 유지할 때(왼쪽 그림도 섞임이 완료되어 각기 고른 배열을 이루는 때) 단열 벽을 잠간 열고 열교환을 허용합니다. 그리고 다시 닫고 모든 곡선이 수평선을 이루는 열비김상태에 이르도록 놓아 둡니다. 다시 각각 열 비김이 완료되었다면 단열 벽을 잠시 열고 열 교환을 허용하고 다시 단열벽을 닫고 하는 과정을 되풀이합니다. 이러한 방법으로 얻은 곡선은 그림 13 의 곡선과 아주 다르지만 최종 열비김 상태는 같은 상태가 됩니다.
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이 시늉내개에서 학생들이 배울 것은 많이 있습니다. 무엇보다도 온도라는 개념입니다. 이제 까지 온도는 감각적인 개념, 뜨겁다 덥다 차다 춥다 등의 정도로 이해했을 것입니다. 이러한 감각적 개념은 주관적이기 때문에 물리량으로 승화할 수 없었습니다. 물리에서는 온도는 열 비김의 조건으로 정의하는데 그 밑바닥에는 이른바 열역학의 제 0 법칙이라는 경험법칙이 깔려 있습니다. 즉 물체 A 가 물체 B와 물체 C 와 각각 열 비김하고 있다면 물체 B 와 C는 열 접촉시키면 아무 변동없이 열 비김 한다는 사실입니다. 그래서 그 성질로서 온도를 정의하고 온도계를 정의합니다. 그런데 그 실체는 잘 몰랐습니다. 다시 말하면 열역학의 온도는 어디 까지나 이 열역학의 제 0 법칙에 바탕을 두고 특별한 비김 상태(보기를 들자면 물의 3 중점)에 그 기준점을 두고 그 사이에 각 비김점에서의 특성(보기를 들자면 늘어나는 부피)를 이용하여 온도계를 만들었습니다. 그러나 온도는 수은주의 부피도 아니고 기체의 압력도 아닙니다. 따라서 열역학만을 가지고는 온도의 실체를 파악할 수는 없습니다. 그런데 신기한 것은 이러한 조작주의적 온도 정의와 온도에 따르는 특정한 물성만 가지고 절대 온도의 존재를 알게 되었습니다. 즉 기체를 압력을 일정하게 고정한 채 부피를 가지고 온도를 측정하면 마침내 그 기체의 부피가 0 에 육박하는 온도가 존재합니다. 부피는 음수가 될 수 없으므로 이는 바로 가장 낮은 온도, 절대 0 도에 해당됩니다. 그러나 통계 열 물리에서 온도의 실체는 쉽게 파악됩니다. 비록 고도의 추상적 개념이기는 하지만 명확한 정의를 내릴 수 있습니다. 즉 에너지를 변수로 한 엔트로피 곡선의 물매가 다름 아닌 역 온도입니다. 시늉내기를 여러 번 되풀이하면서 이 사실을 곱씹어 보세요. 이 시늉내개의 여러 과정을 만들어 내고 가운데 상자 속의 변화를 따라가면서 그 뜻을 헤아려 보세요. 또 하나 관찰하고 확인할 중요한 사실은 총 엔트로피의 비 감소성입니다. 여러 과정을 시늉내어 이 총 엔트로피의 변화를 보세요 증가하거나 일정합니다. 물론 요동을 빼고는 말입니다. 이 사실을 흔히 열역학의 제 2법칙이라고도 합니다. 그러나 이 것은 이미 되풀이 이야기한 비가역성을 말할 뿐입니다. 또한 조금 열 교환을 허용한 후 비김 상태에 도달하면 (엄밀히 말하면 이 때만 엔트로피를 정의할 수 있어요) 잠간 멈추어 놓고 이 과정에서 엔트로피, 온도, 에너지의 관계를 잘 살펴 보세요. 즉 가)
나)
다) 이 것은 바로 크라시우즈가 제일 처음 도입한 엔트로피의 정의 (단
를 의미하는데 이 관점에서 보면 크라시우즈의 정의는 엔트로피를 정의 하기 보다 절대 온도를 정의하고 있다고 보는 것이 자연스럽습니다. 자 그러면 이제 아래의 버튼을 눌러 시늉내개를 불러 실행시켜 보세요.
다음 장으로 넘어 갑시다. ---------------제 5장 끝--------------- |
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------------------------------표지로 가기 ----------------- |
는 각 물 체를 구 성하는 주사위의 면 수 입니다. 여기서
도 역사 주사위의 점수는 0,1,2, ....
로 표시합니다. 시간 은 시늉내기 시간이고 데 이터 수는 오른쪽에
그릴 그림의 데이터 개수입니다. 처음에 "Start"
버튼을 누르면 두 물체는 서로 에너지의 주고 받음 없이 각자 처음 총
에너지를 보존하면서 비김 상태로 진행합니다. 중간에 단열 벽의 체크박스에서
체크 표시를 마우스를 크릭하여 단열 벽을 제거하면 열적 서로작용이
시작됩니다. 열적 서로 작용이란 두 물체는 에너지를 주고 받을 수 있다는
것을 뜻합니다. 
보 다 작은 값 만 입력할 수 있게 했습 니다. 
(25)
(26)
(27)
(28) 
에서 온 것 입 니다. 작은 바른틀 몬테 칼로 방법으로는 각
각의 순간 온도는 시늉내기 과정에서 막걷개가 EA+1 와 EA-1 의 배열을 얼마나 자주 실현시키는가를 셈하면
작은 바른틀 온도를 잴 수 있습니다. 즉 일정 몬테칼로 걸음을
걷게 한 다음 EA+1를 실현시킨 회수를 f+ , EA-1 상태를 실현시킨 회수를 f- 라 합시다. W(E+1) 과 W(E-1) 은 f+ 와 f- 에 비례하므로
(29)
(30)
는 역온도 1/T를 나타냅 니 다. 
와 
의 관계가 성립 하는 지 
가 들어 맞는지, 단 여기서 
(31)
) 